اگر  را از روش حداقل مربعات معمولی و با کلیه مشاهدات برآورد کنیم، می‌توانیم پسماندهای معمولی را به صورت زیر استخراج کنیم:

که در آن  تخمین حداقل مربعات است. حداقل مشاهدات برای تخمین  برابر با تعداد پارامترهای مدل است. در مدل بالا با یک مشاهده مدل را تخمین می‌زنیم و پسماندهای آن را حساب می‌کنیم. در مرحله بعد با دو مشاهده، مدل را تخمین زده و پسماندها را حساب می‌کنیم. این عمل را برای کل مشاهدات انجام می‌دهیم. به طور کلی پسماندهای بازگشتی را از رابطه زیر به دست می‌آوریم:

(۳-۲۲)
می‌توان نشان داد که شکل نرمال شده پسماندهای بازگشتی (  ) توزیع زیر را دارند:

آماره آزمون مجموع تراکمی پسماندهای بازگشتی  به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۳-۲۳)
که در آن  تخمین انحراف معیار رگرسیون برای کل مدل است:
(۳-۲۴)
اگر پسماندها تصادفی و از نظر مقدار کوچک باشند، انتظار می‌رود آماره  نزدیک به صفر باشد و هر انحراف نظامند از صفر به صورت بی‌ثباتی یا تصریح، اشتباه تفسیر می‌شود.
در این آزمون، فرضیه صفر ثبات ضرایب است. فاصله اطمینان در این آزمون دو خط مستقیم است. دو نقطه  و  خط مستقیم با شیب مثبت و دو نقطه  و  خط مستقیم با شیب منفی را تشکیل می‌دهند. اگر آماره آزمون  در بین دو خط مستقیم قرار بگیرد، فرضیه صفر را نمی‌توان رد کرد.
۳-۹-۲- آزمون  آماره آزمون مربع مجموع تراکمی پسماندهای بازگشتی  به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۳-۲۵)
که در آن  مجموع مربعات پسماندهای بازگشتی برای  مشاهده اول و  مجموع مربعات پسماندهای حداقل مربعات برای کل مشاهدات است.
آماره  بین صفر و یک قرار می‌گیرد. پراکندگی تصادفی آماره  در حوالی صفر نشانه ثبات پارامترهای مدل است. در این آزمون فرضیه صفر ثبات ضرایب است. فاصله اطمینان در این آزمون دو خط مستقیم با شیب مثبت است که از فرمول زیر به دست می‌آیند:
(۳-۲۶)
بستگی به  و سطح معنی‌داری مورد نظر دارد. اگر آماره آزمون  در بین دو خط مستقیم قرار بگیرد، فرضیه صفر را نمی‌توان رد کرد. هر دو آماره  و  برای تشخیص ثبات پارامترهای مدل استفاده می‌شوند، اما باید توجه داشت که این آزمون‌ها در نمونه‌های کوچک قدرت بالایی ندارند.
پسران و پسران (۱۹۹۷) به کارگیری آزمون‌های  و  را برای تعیین ثبات پارامترهای کوتاه‌مدت(ضرایب تخمین زده از متغیرهای تفاضل اول) و همچنین بلندمدت (ضریب  ) را در مدل تصحیح خطا پیشنهاد کردند. البته این آزمون‌ها اولین بار توسط براون، دوربین و اوانس (۱۹۷۵) مطرح شدند.
مزیت روش‌های CUSUM و CUSUMQ نسبت به سایر روش‌های متداول در آزمون ثبات تابع، آن است که نیاز به پیش‌داوری و قضاوت در مورد زمان وقوع تکانه نیست و ماهیت روش‌های مذکور به گونه‌ای است که به دنبال کنترل زمان وقوع تکانه در طول دوره بررسی است.
فصل چهارم:
تجزیه و تحلیل
داده‌ها
۴-۱- مقدمه
در این فصل پس از معرفی متغیرهای مدل، به بررسی مانایی متغیرهای تحقیق پرداخته خواهد شد و سپس به تخمین آریمای نرخ ارز و مدل گارچ برای آن می‌پردازیم. در ادامه با بهره گرفتن از روش ARDL اقدام به تخمین مدل خواهیم نمود. در نهایت با بهره گرفتن از آزمون‌های کیوسام و کیوسام کیو ثبات ضرایب مدل را ازکوتاه‌مدت به بلندمدت بررسی خواهیم نمود.
۴-۲- متغیرها و فرضیه‌های تحقیق
متغیرهای وابسته‌ی تحقیق، ارزش صادرات و واردات ایران به (از) ونزوئلا است. متغیرهای مستقل تحقیق نرخ ارز مابین واحد پولی ایران و ونزوئلا، نااطمینانی نرخ ارز مابین واحد پولی این دو کشور که از جزء اخلال‌های مدل گارچ حاصل شده و تولید ناخالص داخلی ایران و ونزوئلا می‌باشد. لازم به توضیح است که داده‌های مربوط به متغیرهای مربوطه به صورت سالانه استخراج شده است. در جدول شماره‌ (۴-۱) علائم اختصاری این متغیرها ارائه شده است.
جدول ۴-۱: علائم اختصاری متغیرهای مورد استفاده در تحقیق