اگر شرایط مرزی ۸ و ۹ جدول(۳-۳) را به مدل اعمال کنیم، تغییر شکل ناشی از تغییر دما در شرایط مرزی ۸ معادل خواهد بود با اعمال نیروی تماس ، در شرایط مرزی ۹، بنابراین انرژی کرنشی مدل تحت شرایط مرزی ۸ و ۹ یکسان اند، به­عبارتی:
(۳-۵۶)
با در نظر گرفتن مدل تحت شرایط مرزی­های ۴ و ۷ و ۹ می­توانیم به سادگی به رابطه زیر برسیم]۱۴[:
(۳-۵۷)
سپس می­توانیم رابطه بین انرژی کرنشی مدل و معادل همگن آن را تحت شرایط مرزی۱، با جاگذاری روابط (۳-۵۵) و (۳-۵۶) و (۳-۵۷) در رابطه ی (۳-۵۲) بدست آوریم.
(۳-۵۸)
به طور مشابه می­توان نشان داد که رابطه بین انرژی کرنشی مدل و معادل همگن آن تحت شرایط مرزی ۲، به صورت رابطه­ی (۳-۵۹) است.
(۳-۵۹)
و تحت شرایط مرزی ۳:
(۳-۶۰)
در شرایط مرزی (۵) از جدول(۳-۳)، معادل همگن مدل تحت شرایط مرزی­ای قرار گرفته که در آن، تنها قادر است در راستای ۱، جابجا شود. اگر شرایط مرزی­های مشابه­ای را در نظر بگیریم که در آن معادل همگن مدل، تنها قادر به جابجایی در راستاهای ۲ و ۳، باشد و انرژی کرنشی ناشی از اعمال این بارها را به ترتیب با و نمایش دهیم. درآن صورت داریم:
(۳-۶۱)
(۳-۶۲)
(۳-۶۳)
که ، حجم سلول پایه و ، انرژی کرنشی معادل همگن مدل تحت شرایط مرزی ۵ است.
با جاگذاری روابط فوق در معادلات (۳-۶۱) و (۳-۶۲) و (۳-۶۳) و حل دستگاه معادلات بر حسب ضرایب موثر انبساط حرارتی داریم]۲۷[:
(۳-۶۴)
(۳-۶۵)
(۳-۶۶)
در روابط فوق ، و به ترتیب از روابط (۳-۶۷) ، (۳-۶۸) و(۳-۶۹) به دست می­آیند.
(۳-۶۷)
(۳-۶۸)
(۳-۶۹)
به این ترتیب ضرایب انبساط حرارتی موثر مدل به دست می­آید.بنابراین با اعمال شرایط مرزی­های ساده، و انجام محاسباتی بسیار ساده­تر، توانستیم ضرایب انبساط حرارتی موثر را برای یک ماده ارتوتروپیک تخمین بزنیم.
فصل چهارم
بهینه­سازی توپولوژی ریزساختارهای مواد ­­­سلولی با هدف حداکثر­سازی­سختی
۴-۱ مقدمه
مواد ­سلولی خواص فیزیکی، مکانیکی و حرارتی متفاوتی نسبت به مواد اصلی سازنده خود دارند. همانطور که در فصول قبل نیز ذکر شد، تغییرات خواص مواد­ سلولی وابسته به تغییر در نوع و چگونگی توزیع فازهای به کار گرفته شده در درون سلول پایه آن­هاست]۴[. به منظور تعیین توزیع بهینه این فازها در درون سلول پایه، می­توان از بهینه­سازی توپولوژی استفاده کرد. در این فصل روش بهینه­سازی تکاملی دوجهته-مرگ نرم، برای تعیین شکل سلول پایه یک ماده سلولی، که متشکل از یک فاز جامد و یک فاز پوچ است، بکار گرفته می­شود.
هدف از طراحی در این فصل، تعیین شکلی از سلول پایه است که حداکثر سختی را داشته باشد، با در نظر گرفتن قید حجمی و با توجه به اینکه برای یک ماده الاستیک و همسانگرد، سختی بر اساس مدول حجمی و یا مدول برشی بیان می­شود]۳[، لذا هدف ما طراحی یک سلول پایه است، به­نحوی که در یک کسر حجمی مشخص از ماده، حداکثر مدول حجمی و یا حداکثر مدول برشی را داشته باشد. اگر چه وزن سازه به عنوان هدف اصلی طراحی در نظر گرفته نشده است، اما با توجه به اهمیت وزن، قید حجمی اعمال می­گردد.
در این فصل برای تخمین خواص الاستیک سلول پایه، از روش انرژی کرنشی استفاده می­کنیم. در این روش پس از انجام آنالیز المان ­محدود، با اعمال محاسبات ساده­ای، خواص موثر سلول پایه تعیین می­گردد. پس از آن، برای اینکه بتوانیم توپولوژی بهینه سلول پایه را تعیین کنیم، نیازمند آن هستیم که معیاری را برای حذف و یا اضافه شدن المان­ها در مراحل بعدی مشخص کنیم. برای دست­یابی به چنین معیاری، نخست باید حساسیت المان­ها را با توجه به تابع هدف تعیین کنیم. پس از تعیین حساسیت، روش مرگ نرم در بهینه­سازی تکاملی دوجهته را به کار می­گیریم. بدین منظور ابتدا حساسیت بهبود یافته­ای برای المان­ها تعریف می­کنیم. این حساسیت برگرفته شده از حساسیت المان مورد نظر و حساسیت المان­های مجاورش است. حساسیت بهبود یافته کمک می­کند که نواحی شطرنجی در طرح نهایی پدیدار نشوند و پاسخ­ها وابسته به اندازه مش­ها نباشند. پس از محاسبه حساسیت بهبود یافته، متوسط حساسیت المان در مرحله کنونی و مرحله قبلش را به عنوان حساسیت نهایی المان در نظر می­گیریم. این کار باعث همگرایی پاسخ­ها می­شود. در ادامه پس از مرتب نمودن المان­ها بر اساس حساسیت نهایی آنها و انتخاب معیار پوچی، که در هر مرحله با توجه به حجم سلول پایه تعیین می­گردد، شروع به حذف یا اضافه نمودن المان­ها می­کنیم تا به قید حجمی برسیم. پس از رسیدن به قید حجمی اگر تغییرات تابع هدف در مراحل آخر به حد کوچک و قابل قبولی برسد، بهینه­سازی را متوقف می­کنیم. در پایان به­منظور بررسی صحت نتایج، آنها را با باندهای معتبر موجود مقایسه می­کنیم.
۴-۲ خواص موثر الاستیک
پیش از به­کارگیری روش انرژی کرنشی جهت انجام بهینه­سازی توپولوژی، ماتریس موثر الاستیک را در حالت دو­بعدی برای یک سلول پایه مربعی، محاسبه می­کنیم و حاصل را با مقادیر موجود در مقالات مقایسه می­کنیم. این کار به منظور اطمینان از نتایج روش انرژی کرنشی و همچنین صحت برنامه­ی نوشته شده صورت گرفته است. مثال انتخاب شده یک سلول مربعی است که المان­های داخلی آن پوچ شده­اند. مشخصات این سلول و ماتریس الاستیک به دست آمده از روش انرژی کرنشی و همچنین ماتریس الاستیکی که پیشتر در مقاله حسنی و هینتون بدست آمده بود]۲۵[، در جدول(۴-۱) آورده شده است. لازم به ذکر است که در مقاله مذکور، از تئوری همگن­سازی به منظور تخمین خواص موثر الاستیک سلول پایه استفاده شده است.
جدول ۴- ۱- مقایسه ماتریس موثر الاستیک با نتایج مقاله حسنی و هینتون]۲۵[.
بخش میانی جدول(۴-۱) ماتریس موثر الاستیک را نشان می دهد. در این پژوهش، این ماتریس با به­کارگیری روش انرژی کرنشی محاسبه شده است. همانطور که در جدول(۴-۱) ملاحظه می­کنید همچنین در بخش زیرین جدول(۴-۱)، ماتریس الاستیکی که برای مدل مذکور توسط حسنی و هینتون و به کمک تئوری همگن­سازی محاسبه شده بود قرار گرفته است. مقایسه­ی این ماتریس با ماتریس محاسبه شده در این پژوهش، درصد خطای ناچیز ۰۱/۰ را برای مولفه­های ماتریس الاستیک نشان می­دهد. بنابراین به این نتیجه می­رسیم که اولا روش انرژی کرنشی با دقت بسیار خوبی قادر به تخمین خواص موثر سلول پایه است و ثانیا برنامه نوشته شده به منظور محاسبه ماتریس موثر الاستیک، به درستی عمل می­کند.
۴-۳ ماده­ی سلولی
حال که توانستیم ماتریس موثر الاستیک را با کمک روش انرژی کرنشی محاسبه کنیم، قصد داریم رابطه بین خواص موثر الاستیک سلول پایه و خواص موثر الاستیک ماده سلولی را بررسی کنیم. بدین منظور ابتدا مطابق شکل (۴-۱-الف) سلول پایه­ای به شکل مربعی توخالی در نظر می­گیریم. سپس ماده­ای سلولی مطابق شکل (۴-۱-ب) در نظر می­گیریم که سلول پایه آن شکل (۴-۱-الف) باشد.
شکل ۴- ۱- (الف) سلول پایه، (ب) ماده­ی­ سلولی.
مشخصات هندسی و مکانیکی سلول پایه و ماده سلولی در جدول(۴-۲) قید شده است. با اعمال شرایط مرزی­های جدول(۳-۲)، ماتریس موثر الاستیک سلول پایه و ماده سلولی را محاسبه می­کنیم. این ماتریس­ها در بخش پایینی جدول(۴-۲)، آورده شده­اند. با مقایسه این دو ماتریس به این نتیجه می­رسیم که خواص الاستیک ماده سلولی مشابه خواص الاستیک سلول پایه است. به عبارتی برای بهینه­سازی ماده سلولی، کافی است سلول پایه آن را بهینه کنیم.
جدول ۴- ۲- مشخصات هندسی ، مشخصات مکانیکی و ماتریس های الاستیک
۴-۴ فرمول بندی
یافتن بهترین نحوه ی توزیع ماده در یک سلول پایه، به گونه­ای که این سلول با حجم مشخصی از ماده، حداکثر سختی را داشته باشد، از جمله اهداف این فصل به شمار می­رود. همانطور که ذکر شد سختی یک ماده الاستیک را می­توان بر حسب مدول حجمی یا مدول برشی آن ماده بیان نمود، لذا حداکثر سختی، معادل حداکثر مدول حجمی یا حداکثر مدول برشی ماده در نظر گرفته می­شود]۴[.
از آنجا که می­خواهیم سلول پایه در حجم مشخصی از ماده حداکثر سختی را داشته باشد، حجمی از پیش تعیین شده برای مدل نهایی تعریف می­کنیم، این حجم را با نشان می­دهیم. از مجموع حجم المان­های مادی ناشی می­شود. برای تعیین المان­های مادی و پوچ نیازمند تعریف متغیر طراحی هستیم. را متغیر طراحی می­نامیم. متغیر طراحی کمیتی است دو­مقداری که به چگالی محلی المان نسبت می­دهیم، چگالی محلی لزوما معنی چگالی المان را نمی­دهد، بلکه می­تواند یک کمیت مکانیکی باشد. برای مثال در اغلب مسایل بهینه­سازی مدول یانگ محلی به عنوان چگالی محلی در نظر گرفته می­شود. به عبارتی مدول یانگ ۱، به معنی آن است که المان مادی است و در فاز جامد قرار دارد و مدول یانگ نزدیک به صفر، به معنی پوچ بودن المان است. در روش بهینه­سازی تکاملی دوجهته-مرگ نرم این مقدار را اغلب برابر ۰۰۱/۰ در نظر می­گیرند و آنرا با ، نمایش می­دهند. بنابراین به­منظور اختصاص دهی مدول یانگ به چگالی محلی المان از رابطه­ی (۳-۲) استفاده می­کنیم و برای ایجاد ، فاکتور پنالتی را عدد ۳ انتخاب می­کنیم.
حال می­توانیم با توجه به هدف ذکر شده، مسأله را فرمول­بندی کنیم، این فرمول­بندی به صورت روابط زیر بیان می­شود]۵۴[.
(۴-۱-الف)
(۴-۱- ب)
(۴-۱-ج)
در روابط (۴-۱)، ، حجم المان اُم است و ، تعداد کل المان­ها است. همچنین مدول حجمی و مدول برشی است و بر حسب مولفه­های ماتریس الاستیک به صورت روابط زیر بیان می­شوند]۵۶[:
(۴-۲-الف)
(۴-۲-ب)
(۴-۳)
۴-۵ آنالیز حساسیت
پیش از اینکه تعیین کنیم، کدام المان­ها باید از سلول پایه حذف و کدامیک باقی بمانند یا به آن اضافه شوند، باید آنالیز حساسیت انجام دهیم، حساسیت در واقع تغییرات تابع هدف نسبت به متغیر طراحی است. به عبارتی با انجام آنالیز حساسیت، میزان تاثیر یک المان در تابع هدف سنجیده می­شود.
در روش انرژی کرنشی، مولفه­های ماتریس الاستیک شامل عباراتی هستند که از مجموع انرژی کرنشی المان­ها تحت شرایط مرزی­های مختلف ناشی می­شوند. بنابراین می­توان به این نتیجه رسید که تاثیر هر المان در تابع هدف، متناسب با انرژی کرنشی آن المان است. برای مثال اگر تابع هدف را حداکثر­کردن مدول برشی انتخاب کنیم، در آن صورت در حالت دو­بعدی، مدول برشی بر حسب مولفه­های ماتریس الاستیک از رابطه­ی (۴۳-۳) به دست می­آید. از طرفی همانطور که در جدول(۳-۲) نشان داده شده است، مقدار مدول برشی با اعمال شرایط مرزی­ای که در این جدول نشان داده شده است و برحسب مجموع انرژی کرنشی المان­های آن تعیین می­گردد. به عبارتی اگر مجموع انرژی کرنشی المانها تحت شراط مرزی ۱۳ از جدول(۳-۲)، و ، مساحت سلول پایه باشد، داریم:
(۴-۴)
در رابطه­ی فوق ، تعداد کل المان ها و ، انرژی کرنشی المان اُم، تحت شراط مرزی ۱۳ است. بنابراین اگر بخواهیم حساسیت المان اُم را نسبت به تابع هدف که در اینجا مدول برشی است بیابیم، کافی است در رابطه (۴-۴) انرژی کرنشی المان اُم را قرار دهیم. زیرا تاثیر المان اُم در تابع هدف به اندازه­ی انرژی کرنشی آن است. بنابراین اگر تابع هدف حداکثر کردن مدول برشی انتخاب شود و حساسیت المان اُم را با، نشان دهیم در آن صورت مقدار ، از رابطه­ی (۴-۵) به دست می­آید.
(۴-۵)
بنابراین در حالت کلی، اگر ، بیانگر انرژی کرنشی المان اُم تحت شراط مرزی اُم باشد، در آن صورت حساسیت المان اُم تحت شراط مرزی اُم برابر با رابطه­ی (۴-۶) خواهد بود.
(۴-۶)